Interaktywna animacja b-drzewa (dr hab. Paweł F. Góra, prof. UJ)
Praca licencjacka z informatyki

Celem pracy jest wizualizacja działania b-drzewa: wstawiania, wyszukiwania, usuwania i modyfikacji elementów b-drzewa, wraz z równoważeniem b-drzewa. Użytkownik podaje parametry b-drzewa i zestaw elementów do utworzenia b-drzewa (lub może skorzystać z predefiniowanych zestawów, lub może wygenerować nowy zestaw), a dla już utworzonego b-drzewa element wyszukiwany, usuwany, modyfikowany lub pojedynczy element do wstawienia. Animacje muszą być zgodne z faktycznym działaniem algorytmów.
 

Symulacja ataku bizantyńskiego na sieć rozprzestrzeniania opinii (dr hab. Paweł F. Góra, prof. UJ)
Praca licencjacka z fizyki lub informatyki

W systemach rozprzestrzeniania się opinii rozpatrujemy "agentów" umieszczonych na siatce (grafie). Każdy "agent" ma opinię w pewnej sprawie, przybierającą wartość $\pm 1$.

• W każdym kroku czasowym "agenci" konsultują swoich sąsiadów (węzły, z którymi są połączone); następuje sweep po całej sieci
• Dla każdego "agenta" dobiera się ad hoc losową grupę konsultacyjną i następuje zmiana tylko tego "agenta" (model q-voter)

Jeżli opinia większości zgadza się z opinią danego "agenta", nic się nie dzieje. W przeciwnym razie "agent" może przyjąć opinię większości z prawdopodobieństwem Boltzmannowskim.
Wśród "agentów" znajdują się zdrajcy, którzy, jeśli ich zapytać, zawsze kłamią - odpowiadają inaczej, niż aktualna wartość opinii pytającego (problem bizantyńskich generałów).
Pytania: Jak dynamika opinii, w tym ewentualne pojawienie się przejścia fazowego (jedna opinia dominuje), zależy od

• gęstości (liczby) zdrajców
• temperatury
• topologii sieci (nie dla q-voter)
• liczności grupy ad hoc (dla q-voter)

Agregacja ograniczana dyfuzyjnie dla szumów kolorowych (dr hab. Paweł F. Góra, prof. UJ)
Praca licencjacka z informatyki lub fizyki


Agregacja ograniczana dyfuzyjnie (Diffusion Limited Aggregation) to proces, w którym błądzące przypadkowo cząstki przyklejają się do istniejącego klastra. Powstają struktury fraktalne. Celem pracy jest sprawdzenie, jak wymiar tych struktur zmienia się wraz ze zmianą parametrów opisujących pamięć (korelacje czasowe) szumu. Praca wymaga intensywnych, chociaż prostych, symulacji numerycznych.

Implementacja algorytmu Bulirscha-Stoera z ekstrapolacją Floatera-Hormana (dr hab. Paweł F. Góra, prof. UJ)
Praca licencjacka lub magisterska z informatyki dla desperatów

Algorytm Bulirscha-Stoera pozwala na znajdywanie bardzo dokładnych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych przez ekstrapolację kroku całkowania do zera. Klasyczny algorytm oparty jest na ekstrapolacji wielomianowej. Celem pracy jest zastąpienie ekstrapolacji wielomianowej ekstrapolacją funkcjami wymiernymi, zgodnie z algorytmem Floatera-Hormana. Wymagane są intensywne obliczenia numeryczne.

Badanie własności upakowań losowych (dr hab. Michał Cieśla, prof. UJ)

Wszystkie poniższe tematy dotyczą badania losowych upakowań generowanych w następujący sposób,

• losujemy pozycję i orientację obiektu;
• sprawdzamy, czy obiekt nie przekrywa się z innymi obiektami uprzednio dodanymi do upakowania;
• jeśli się nie przekrywa, dodajemy go do upakowania. W przeciwnym razie zapominamy o nim.

Proces powtarzamy iteracyjnie. Upakowaniem nasyconym nazywamy takie, do którego nie da się dodać kolejnego obiektu. Podstawowym parametrem określającym losowe upakowanie jest jego gęstość (średnia liczba obiektów * objętość obiektu / objętość upakowania)

1. Nasycone losowe upakowania kul w wielu wymiarach.
   
   Celem pracy jest numeryczne wyznaczenie gęstości wielowymiarowych ($d>8$) upakowań zawierających hiper(kule). Problemem, który trzeba będzie pokonać jest tutaj spora złożoność obliczeniowa standardowych metod, szybko rosnąca wraz z liczbą wymiarów. Dlatego prawdopodobnie trzeba będzie skorzystać z obliczeń równoległych (np. OpenMP, OpenCL, CUDA)
   
    
2. Nasycone losowe upakowania brył w przestrzeni trójwymiarowej.
   
   Generowanie nasyconych upakowań, czyli takich do których nie można już dodać kolejnego obiektu, wymaga śledzenia obszarów, w których potencjalnie istnieje możliwość dodania kolejnego obiektu. Jak do tej pory nie istnieje algorytm, który pozwala na wygenerowanie upakowania nasyconego zawierającego bryły trójwymiarówe innych niż kule (sfery). Celem pracy jest opracowanie takiego algorytmu dla wybranej klasy brył. Obiektami, dla których to zadanie wydaje się najprostsze są dimery, sferocylindry i sześciany.
   
    
3. Losowe upakowania superelipsoid w przestrzeni trójwymiarowej.
   
   Superelipsoida to obiekt, którego powierzchnia jest opisana równaniem: \begin{equation} \left(\frac{x}{a}\right)^p + \left(\frac{y}{b}\right)^p + \left(\frac{z}{c}\right)^p = 1, \end{equation} gdzie $a$, $b$, $c$ to półosie elipsoidy, natomiast $p>0$. Dla $p=2$ równanie opisuje zwykłą elipsoidę. Podstawowym celem pracy jest implementacja kryterium przecięcia dwóch superelipsoid, w oparciu o istniejące algorytmy. Następnie, korzystając z istniejącego programu należy wygenerować szereg upakowań losowych i sprawdzić jak ich własności (np. gęstość upakowania) zależą od parametrów ($a,b,c,p$). 

Wymiar fraktalny struktur w odwróconym procesie DLA (dr hab. Paweł F. Góra, prof. UJ)
Praca magisterska z fizyki lub informatyki

Cząstka, startująca z pewnego punktu początkowego, wykonuje błądzenie przypadkowe aż dotknie brzegu pewnej figury; początkowo figurą tą jest trójkąt równoboczny lub kwadrat. Gdy błądząca cząstka dotknie brzegu figury, ten "wybrzusza" się, tworząc trójkąt, którego podstawą jest dotychczasowy bok, a wysokość jest proporcjonalna do długości tego boku.

Cząstka wraca do swojego położenia początkowego i cały proces zaczyna się od nowa (ale figura ograniczająca obszar dyfuzji jest już zmieniona). Proces ten można traktować jako odwrócony proces agregacji ograniczanej dyfuzyjnie (Diffusion Limited Aggregation, DLA). Hipoteza: Po wielu iteracjach brzeg figury staje się fraktalny. Należy to potwierdzić i obliczyć wymiar fraktalny brzegu.
Praca może okazać się obliczeniowo znacznie bardziej skomplikowana, niż to się na pierwszy rzut oka wydaje. W przypadku sukcesu, możliwa będzie kontynuacja współpracy w innej formie.

Lwy i antylopy: Dynamika w modelu Kuramoto z dwoma antagonistycznymi gatunkami (dr hab. Paweł F. Góra, prof. UJ)
Praca magisterska z fizyki, biofizyki lub informatyki

Uogólnienie klasycznego modelu synchronizacji na przypadek gatunków antagonistycznych. Temat wydaje się koncepcyjnie prosty, ale może wymagać intensywnych obliczeń numerycznych.

Rezonans stochastyczny i rezonans koherencyjny w monostabilnych studniach potencjału (dr hab. Paweł F. Góra, prof. UJ)
Praca magisterska z fizyki

Uogólnienie wyników pracy Stationary distributions of a noisy logistic process, Acta Phys. Pol. B 36, 1981 (2005), na przypadek potencjałów $x^{2n}$. Możliwa kotynuacja współpracy.